Let's try a literal translation first

we'll see if we can get back a rhyme structure then

Do you understand German?
I think it's close to impossible to keep the rhyme...
This is the story of a Merc*, Swordsman*, Wizard*, Doc*, and Fencer*.
Dies ist die Geschichte von Merc, Swordsman, Wizard, Doc und Fencer.
Their group was short only one member.
Nur einer fehlte in ihrer Gruppe
“With a Musician* our party will be full of life”
"Mit einem Musician (that's Musiker in German) wären wir komplett"
“No way, the last one ran off with my wife!”
"Bitte nicht, der letzte hat sich mit meiner Frau davon gemacht"
“With a Thief* we can gain some extra loot”
"Mit einem Thief (Dieb) könnten wir noch mehr Profit machen"
“To them its finder’s keepers so give him the boot”
"Für die gilt, wer's findet, der behält's, also schick ihn weg"
“Invite that Shaman*, his magic is the best”
"Lasst uns diesen Shaman (Schamanen) fragen, er ist der beste Magier"
“Sorry this is an AoE* party, he can go solo like the rest”
"Sorry wir sind eine AoE (What does this stand for?) Gruppe, der kommt auch allein klar wie alle anderen"
“A Merchant*’s wealth redefines the term ‘Class’**”
"Es ist der Reichtum eines Kaufmanns, der das Wort "Klasse" neu definiert"
“They’re always charging me for insurance so I’ll pass”
"Die knöpfen mir nur immer Geld ab für Versicherungen, da setze ich aus"
“Hey, invite your Hunter* friend? It’ll be fun”
"Hey, frag doch deinen Freund Hunter (Jäger) Das wäre sicher lustig."
“But he hasn’t left his home since they nerfed stun*!”
"Aber der hat das Haus nicht mehr verlassen, seit sie ... (I don't get this, can you explain?)
“Why can’t I send anymore invites to that sexy Dancer*?”
"Warum kann ich denn nicht mehr diese hübsche Dancer (Tänzerin) fragen?"
(or maybe better: "Warum kann ich denn dieser hübschen Tänzerin nichts mehr schreiben?")
“She probably blocked*** you because you won't take ‘No’ for an answer”
"Sie hat dich vielleicht abgewiesen, weil du "Nein" nicht als Antwort angenommen hast."
Finally they took the Martial Artist*,
Am Ende haben sie den Martial Artist gewählt (Kampfsportler)
because he threatened to hit them with Far Fist*.
Denn er drohte ihnen, sie mit Far Fist zu trefffen (mit der langen Faust?)